Question

【题目】已知函数，，其中．

（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若对任意的，（为自然对数的底数）都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调递减区间为，（2）

【解析】

试题分析：（1）求出，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2) 对任意的，（为自然对数的底数）都有成立等价于在定义域内有,分三种情况讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，分别求出的最值,从而可列出关于的不等式，从而求出的范围，综合三种情况所得结果可得实数的取值范围.

试题解析：（1）解：当时，

解得或，

则函数的单调递减区间为，

（2）对任意的都有成立等价于在定义域内有．

当时，．

∴函数在上是增函数．

∴

∵，且，．

①当且时，，(仅在且时取等号)

∴函数在上是增函数，

∴.

由，得，

又，∴不合题意．

②当时，

若，则，

若，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴. 由，得，

又，∴．

③当且时，，(仅在且时取等号)

∴函数在上是减函数．

∴.

由，得，

又，∴．

综上所述：