题目内容

16．为了解我市大学生的体质状况，对昆明地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取100名学生，测得其身高情况如表所示．
分组频数频率
[160，165） ①0.050
[165，170） 200.200
[170，175） ② ③
[175，180） 300.300
[180，185] 100.100
 合 计100 1.000
（Ⅰ）求出频率分布表中①、②、③位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；
（Ⅱ）若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170cm”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

分析 （Ⅰ）由频率求得[160，165）内的频数，作差求出[170，175）内的频数，则[170，175）内的频率可求，最高矩形中点的横坐标为众数的估计值；
（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，利用古典概型概率计算公式求出对应的概率，列出频率分布表，则期望可求．

解答 解：（Ⅰ）设①，②处分别为m，n，由$\frac{m}{100}=0.050$，得m=5；
则n=100-（5+20+30+10）=35，∴[170，175）内的频率为$\frac{35}{100}=0.35$．
∴①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm，
补全频率分布直方图如图3所示：
图3

（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm”的有5人，
∴ξ可能的取值为0，1，2，3，
则P（ξ=0）=$\frac{{C}_{15}^{3}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{91}{228}$；
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{15}^{2}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{35}{76}$；
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{15}^{1}•{C}_{5}^{2}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{5}{38}$
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{20}^{3}}=\frac{1}{114}$，
则ξ的分布列如下：

ξ0123
P$\frac{91}{228}$$\frac{35}{76}$$\frac{5}{38}$$\frac{1}{114}$
∴E（ξ）=$0×\frac{91}{228}+1×\frac{35}{76}+2×\frac{5}{38}+3×\frac{1}{114}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查频率分布直方图，考查了离散型随机变量及其分布列、数学期望的求法，是中档题．

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20．化简：$\frac{\root{3}{{a}^{4}}-8\root{3}{ab}}{\root{3}{{a}^{2}}+2\root{3}{ab}+4\root{3}{{a}^{4}}}$÷（1-2$\root{3}{\frac{b}{a}}$）
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④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
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A．①⑤B．②④C．④⑤D．①③⑤
4．如果执行右边程序框图，那么输出的数S=2550
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A．-24B．21C．24D．48

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