Question

【题目】四位数和互为反序的正整数，且，、分别有16个、12个正因数（包括1和本身），的质因数也是的质因数，但的质因数比的质因数少1个，求的所有可能值.

Answer 1

【答案】

【解析】

设，.则.

由，则.

故，，.

于是，，.

由为奇数，知与一奇一偶.

若为偶数，即，则，为偶数.矛盾.

因此，为偶数，为奇数.

记分解质因数后，的个数为，2的个数为.则，.

由因数个数定理得.

于是 ，，.

所以，或8，或7.

故至多有三个质因数.

于是，至多含有两个质因数，3是的一个质因数.

若只有一个质因数，则这个质因数为3.从而，，与是四位数相矛盾.

因此，含有两个质因数.

设的另一个质因数为.

因为，所以，或或 .

故.

又，则，，即.

由，知.

此时，的值大于.

当时，.

而不互为反序数，于是，.此时，.

因此，.于是，，

，

. ①

.

故.

因为为奇数，所以，为奇数.故.

由式①得

.

因为为偶数，所以，为偶数.

于是，或8.

当时，由式①得

.

因为，所以，.

得，，.

于是，或9.

当时，；

当时，.

于是，或1998.

因为，所以，.

又，符合题意.

因此，.