题目内容
10．记无穷数列{an}的前n项a1，a2，…，an的最大项为An，第n项之后的各项an+1，an+2，…的最小项为Bn，令bn=An-Bn．（1）若数列{an}的通项公式为an=2n2-7n+6，写出b1，b2，并求数列{bn}的通项公式；
（2）若数列{bn}的通项公式为bn=1-2n，判断{an+1-an}是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由；
（3）若数列{bn}为公差大于零的等差数列，求证：{an+1-an}是否为等差数列．
分析 （1）数列{an}的通项公式为an=2n2-7n+6，a1=1，${a}_{n}=2（n-\frac{7}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，n≥2时为单调递增数列．可得A1=1，B1=a2=0，b1=1，同理可得b2=A2-B2=a1-a3=-2．可得数列{bn}的通项公式bn=An-Bn=an-an+1=-4n+5．
（2）设d是非负整数，先证明：bn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；而数列{bn}的通项公式为bn=1-2n，即可{an+1-an}是公差为2等差数列．
（3）由于数列{an}递增，可得An=an，Bn=an+1，bn=An-Bn=an-an+1=-（an+1-an），即可证明．
解答 （1）解：数列{an}的通项公式为an=2n2-7n+6，a1=1，${a}_{n}=2（n-\frac{7}{4}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，
n≥2时为单调递增数列．
∴A1=1，B1=a2=0，
b1=A1-B1=1-0=1，
同理可得b2=A2-B2=a1-a3=-2．
∴数列{bn}的通项公式bn=An-Bn=an-an+1=2n2-7n+6-[2（n+1）2-7（n+1）+6]=-4n+5；
（2）解：设d是非负整数，先证明：bn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n-1）d，
∴An=an=a1+（n-1）d，Bn=an+1=a1+nd，
∴dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．
必要性：若bn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak-ak-1＜0的项，
则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak＞0，这与dn=-d≤0相矛盾，
故{an}是一个不减的数列．
∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，
故{an}是公差为d的等差数列．
而数列{bn}的通项公式为bn=1-2n，
bn+1-bn=-2，
∴{an+1-an}是公差为2等差数列．
（3）证明：∵数列{an}递增，（可用反证法证明），
∴An=an，Bn=an+1，
∴bn=An-Bn=an-an+1=-（an+1-an），
∵{an+1-an}是等差数列，
∴{bn}为等差数列．
点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“新定义”，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| A． | $\frac{4}{3}$ | B． | $\frac{5}{3}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ |
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD-A1B1C1D1．| A． | a2＜ab | B． | -ab＜-b2 | C． | $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$ | D． | $\frac{b}{a}＞\frac{a}{b}$ |
| A． | π | B． | $\frac{4π}{3}$ | C． | $\frac{5π}{3}$ | D． | 2π |
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（ ）
