题目内容
【题目】已知椭圆
，过点
作互相垂直的两条直线分别交椭圆
于点
（与
不重合）.
（1）证明：直线
过定点
；
（2）若以点
为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形
的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）
或
【解析】
（1）先设出直线
的方程
，利用垂直关系求出
的值即可；
（2）由（1）有直线的方程为
，
，
，求得中点
，根据
，求得
，再由四边形
的面积为
，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.
（1）根据题意有：直线、
、
斜率均存在.
设
，
、
联立：
，有：
，
所以：
，
.
因为
，
所以：
，
化简得：
，
所以：
，
化简得：
，解得
或
.
当
时，
过点
，则与
或
重合，不满足题意，舍去，
所以：，即
所以：直线过定点
.
（2）由（1）有：，
则：，，.
如图所示：
设线段的中点为
，
则：
，
.
因为以
为圆心的圆与直线相切于的中点，
所以：，
又因为：
，且
与
平行，
所以：
，
解得
或
.
由上图有：四边形的面积.
①当时：
，易得：
、
，
所以：
.
②当
时：
有：
，
所以：
.
由①②有：
或.
第1卷单元月考期中期末系列答案【题目】新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）
月份 | 2020.01 | 2020.02 | 2020.03 | 2020.04 | 2020.05 |
月份编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
竞拍人数 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：
，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：
报价区间（万元） |
|
|
|
|
|
|
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
（i）求这200位竞价人员报价的平均值
和样本方差s2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）
（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布
且μ与σ2可分别由（i）中所示的样本平均数及s2估计.若2020年月6份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数，请你预测（需说明理由）最低成交价.
参考公式及数据：
①回归方程
，其中
②
③若随机变量X服从正态分布则
.
