Question

【题目】如图,四棱锥的侧面是正三角形,,且,,是中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面,且,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1) 取的中点,连接,再证明四边形是平行四边形即可.

(2) 取中点,连接,,根据线面垂直性质计算可得,再以为原点,建立空间直角坐标系,利用空间向量的方法求解二面角的余弦值即可.

（1）取的中点,连接,

因为是中点,

所以,且,

又因为,,

所以,,

即四边形是平行四边形,

所以,

又因为平面,平面,

所以平面；

（2）方法一：取中点,连接,,

因为是正三角形,所以,

因为平面平面,

所以平面,平面,

所以,

故,

以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,

,,,,,,

所以,,

设平面的法向量为,则,,

令得,

易知平面的法向量为,

则,

所以二面角的余弦值为.

方法二：过作交于,

所以,且平面,

过作交于,连接,

所以,

所以为二面角的平面角,

因为,,

因为平面,

所以,且,

又因为,所以,,

故,所以二面角的余弦值为.