Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°．
（Ⅰ）求棱柱的高；
（Ⅱ）求B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱可知，AA₁即为其高．∠A₁BC是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角或其补角．要判断出△A₁BC为正三角形，再在在Rt△A₁AB中求解．
（Ⅱ）连接B₁A，设B₁A∩BA₁=E，判断出∠B₁C₁E就是B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角，在Rt△B₁EC₁中求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱可知，AA₁即为其高．
如图，因为BC∥B₁C₁，所以∠A₁BC是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角或其补角．
连接A₁C，因为AB=AC，所以A1B=A1C=

1+AA12

．
在Rt△ABC中，由AB=AC=1，∠BAC=90°，可得BC=

2

．（3分）
又异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°，所以∠A₁BC=60°，即△A₁BC为正三角形．
于是A1B=B1C1=

2

．
在Rt△A₁AB中，由

1+AA12

=A1B=

2

，得AA₁=1，即棱柱的高为1．（3分）
（Ⅱ）连接B₁A，设B₁A∩BA₁=E，由（Ⅰ）知，B₁A₁=AA₁=1，
所以矩形BAA₁B₁是正方形，所以B₁E⊥A₁B．（2分）
又由AC₁⊥A₁B₁BA，得 A₁C₁⊥B₁E，于是得B₁E⊥平面A₁BC₁．
故∠B₁C₁E就是B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角．（2分）
在Rt△A₁B₁C₁中，由A₁B₁=A₁C₁=1，∠B₁A₁C₁=90°，
可得B1C1=

2

．
在Rt△B₁EC₁中，由B1E=

1

2

A1B=

2

2

，B1C1=

2

，
得sin∠B1C1E=

B1E

B1C1

=

1

2

，故∠B₁C₁E=30°．
因此B₁C₁与平面A₁BC₁所成的角30°．                                 （3分）

点评：本题考查几何体的结构特征，异面直线所成的角、线面角的概念及计算．考查空间想象能力、推理论证、计算能力．