Question

已知0＜α＜

π

2

＜β＜π且sin（α+β）=

5

13

，tan

α

2

=

1

2

．
（1）求cosα的值；
（2）证明：sinβ＞

5

13

．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的正切公式可求得tanα，结合0＜α＜

π

2

即可求得cosα的值；
（2）由于β=（α+β）-α，利用两角差的正弦结合已知即可求得sinβ的值，从而使结论得证．

解答：解：（1）将tan

α

2

=

1

2

代入tanα=

2tn α 2

1-tan2 α 2

得：tanα=

4

3

（4分）
所以

sinα cosα = 4 3 sin2α+cos2α=1

，又α∈（0，

π

2

），
解得cosα=

3

5

．（6分）
（2）证明：∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，
∴

π

2

＜α+β＜

3π

2

，又sin（α+β）=

5

13

，
所以cos（α+β）=-

12

13

，（8分）
由（1）可得sinα=

4

5

，（10分）
所以sinβ=sin[（α+β）-α]=

5

13

×

3

5

-（-

12

13

）×

4

5

=

63

65

＞

5

13

．（14分）

点评：本题考查同角三角函数间的基本关系，考查两角和与差的正弦，考查分析与运算能力，属于中档题．