Question

【题目】已知函数，

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设函数，若，且在上恒成立，求的取值范围；

（3）设函数，若，且在上存在零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为（2）（3）

【解析】

（1）由得，对其求导，用导函数方法判断其单调性即可；

（2）由得，当时，根据二次函数的性质，即可求出结果；当，由分离参数的方法得到恒成立，设，用导数的方法求出其最小值，即可得出结果；

（3）根据题中条件，将在上存在零点，转化为在上有解，设，用导数的方法判断，进而得到，再令，对其求导，用导数的方法研究其单调性，得出最小值，即可求出结果.

【解】（1）当时，，所以.

令，得.

因为函数g（x）的定义域为，

当时，；当时，，

所以函数g（x）的单调减区间为（0,2），单调增区间为.

（2）因为，所以

当时，由恒成立，

则有当，即时，恒成立；

当，即时，，

所以.

综上，.

当时，由恒成立，即恒成立.

设，则.

令，得，

且当时，；当时，，

所以，所以.

综上所述，b的取值范围是.

（3）.

因为u(x)在上存在零点，所以在上有解，

即在上有解.

又因为，即，

所以在上有解.

设，则，

令，得，且当时，；当时，，所以，即，所以，

因此.

设，则，

同理可证：，所以，

于是在上单调递减，在上单调递增，

所以，故.