Question

【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直线A1B与B1C1所成的角为60°.

(1)求该三棱柱的体积;

(2)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.利用异面直线A1B与B1C1所成的角为60°求得h=1即得该三棱柱的体积.(2)利用向量法求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.

(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.

设AA1=h,则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),

则=(-1,0,h),=(-1,1,0).

因为直线A1B与B1C1所成的角为60°,

所以|cos<>|=,

解得h=1.

于是三棱柱体积V=Sh=×1×1=.

(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),=(-1,1,1).

设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),

则可取n=(1,0,1).

又因为D.

于是sin θ=|cos<,n>|=,

所以DC1与平面A1BC1所成角的正弦值为.