Question

【题目】已知椭圆：经过点（，），且两个焦点，的坐标依次为（1，0）和（1，0）．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，求当为何值时，直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程．

Answer 1

【答案】（1）（2），定圆的标准方程为

【解析】【试题分析】(I)依题意得,将利用椭圆的定义计算出,最后计算出,得到椭圆的方程.设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,根据直线和圆相切,利用点到直线的距离公式建立方程,求得定圆的标准方程.

【试题解析】

(Ⅰ)由椭圆定义得，

即，又，所以，得椭圆C的标准方程为

(Ⅱ）设直线的方程为，，

直线的方程与椭圆方程联立，消去得，

当判别式时，得，

设，因为点在直线上，得，

整理得，

即，化简得

原点O到直线的距离，，

由已知有是定值，所以有，解得

即当时，直线与以原点为圆心的定圆相切，

此时，定圆的标准方程为