题目内容

设f1(x)=,fn+1(x)=f1［fn(x)］,an=,其中n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若T2n =a1+2a2+3a3+…+2na2n,Qn=,其中n∈N*.

试比较9T2n与Qn的大小,并说明理由.

解:(1)f1(0)=2,a1=,fn+1(0)=f1［fn(0)］=,                                            ?

an+1===-·=-an.?

∴{an}是首项为,公比为-的等比数列.?

∴an=·(-)n-1.                                                                                ?

(2)T2n=a1+2a2+3a3+…+2na2n,-T2n=a2+2a3+…+(2n-1)a2n+2na2n+1.?

两式相减得T2n=(a1+a2+a2n)-2n··(-)2n                                                                               ?

=-·(-)2n+·(-)2n-1,?

∴T2n=(1-).                                                                                 ?

∴9T2n=1-,Qn=,即比较1-=与的大小.?

∵n≥1,∴即比较(2n+1)2与22n的大小.?

1°n=1时,22n=4＜(2n+1)2=9;?

2°n=2时,22n=16＜(2n+1)2=25;                                                                   ?

3°n≥3时,22n=［(1+1)n］2=(C0n+C1n+…+Cnn)2＞［1+n+］2＞(1+n+n)2=(2n+1)2.

?

故当n=1或2时,9T2n＜Qn;?

当n≥3时,9T2n＞Qn.

练习册系列答案
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对于函数f(x)=
x-1x+1
，设f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn+1（x）=f[fn（x）]，（n∈N*）．
（1）写出f2（x），f3（x），f4（x），f5（x）的表达式；
（2）根据（I）的结论，请你猜想并写出f4n-1（x）的表达式；
（3）若x∈C，求方程f2010（x）=x的解集．
设f1(x)=
2
1+x
，fn+1（x）=f1[fn（x）]，且an=
fn(0)-1
fn(0)+2
，则a2010=（　　）
给出下列命题：
①x2≠y2?x≠y或x≠-y；
②命题“若a，b是偶数，则a+b是偶数”的逆否命题是“若a+b不是偶数，则a、b都不是偶数”；
③若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是真命题；
④已知a、b、c是实数，关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集是空集，必有a＞0且△≤0；
⑤设f1(x)=
2
1+x
，fn+1（x）=f1[fn（x）]，且an=
fn(0)-1
fn(0)+2
，则a2010=(-
1
2
)2011．
正确的是
③⑤
③⑤
．（填番号）
设f1(x)=
2
1+x
，定义fn+1(x)=f1[fn(x)]，an=
fn(0)-1
fn(0)+2
，n∈N*．
（1）写出an+1与an的关系式；
（2）数列{an}的通项公式；
（3）若T2n=2a2+4a4+6a6+…+2na2n，求T2n．
（4）（只限成志班学生做）若
Q
 
n
=
4n2+n
4n2+4n+1
，n∈N+，试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由．

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