Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，EF分虽是AB、CD上的点，EF∥BC，AE＝x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．

(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；

(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；

(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D－BF－C的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：过D作DH⊥EF于H，连BH，HG，则四边形BGHE为正方形，BH⊥EG，∴BD⊥EG；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分; 　　(2)解：f(x)＝VD－FBC＝ 　　当且仅当x＝2时取等号，所以f(x)的最大值为　　　　　　　　　　4分; 　　(3)解：过H作HM⊥BF于M，连DM，则∠DMH为二面角D－BF－C的平面角的补角，　　2分 　　在△DHM中，DH＝2，HM＝∴∠DHM＝acrtan 　　所求二面角D－BF－C的大小为－　　　　　　　　　4分