Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，沿EF将梯形ABCD翻折，使AE⊥平面EBCF（如图）．设AE=x，四面体DFBC的体积记为f（x）．
（1）写出f（x）表达式，并求f（x）的最大值；
（2）当x=2时，求异面直线AB与DF所成角θ的余弦值．

Answer 1

分析：（1）过D作DH∥AE，则DG=AE，且DH⊥平面EBCF，由f（x）=V_D-BFC =

1

3

×S△BFC×DH 求出f（x）的解析式，
由二次函数的性质求出其最大值．
（2）过A作AG∥DF，连BG，则∠BAG即为异面直线AB与DF所成的角，求出此角所在三角形的三边长，余弦定理求得
θ的余弦值．

解答：解：（1）∵AE⊥平面EBCF，过D作DH∥AE，则DG=AE，且DH⊥平面EBCF，所以，
f（x）=V_D-BFC =

1

3

×S△BFC×DH=

1

3

×

1

2

×4×(4-x)×x 
=-

2

3

(x-2)2+

8

3

≤

8

3

，
即x=2时，f（x）有最大值为

8

3

．
（2）过A作AG∥DF，连BG，则∠BAG即为异面直线AB与DF所成的角
由x=2知EG=1，在△AEG中，AG²=2²+1²=5
在△BEG中，BG²=2²+1²=5，在△AEB中，AB²=2²+2²=8，
∴由余弦定理可得 cosθ=

8+5-5

2× 8 × 5

=

10

5

．

点评：本题考查求三棱锥的体积，求函数的最大值，求异面直线所成的角的余弦值，找出异面直线所成的角，是解题的
关键．