Question

已知曲线x²+y²-4x-2y-k=0表示的图象为圆．
（1）若k=15，求过该曲线与直线x-2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．
（2）若该圆关于直线x+y-4=0的对称圆与直线6x+8y-59=0相切，求实数k的值．

Answer 1

（1）设所求圆的圆心坐标为A（x₀，y₀）
当k=15时，代入x²+y²-4x-2y-k=0，化简得（x-2）²+（y-1）²=20，
∴圆心B（2，1），到直线x-2y+5=0的距离为

|2-2+5|

1+4

=

5

，
当相交弦为所求圆的直径时，圆的面积最小，即圆心A在直线x-2y+5=0上；
则

x°-2y°+5=0 y°-1 x°-2 =-2

，解得

x°=1 y°=3

，r=

(2 5 )2- 5 2

=

15

∴所求圆的方程为：（x-1）²+（y-3）²=15
（2）设圆心B（2，1）关于y=-x+4的对称圆的圆心为C（x，y），
∴

y+1 2 =- x+2 2 +4 y-1 x-2 =1

，解得x=3，y=2；则 C（3，2）
∵对称圆C与直线6x+8y-59=0相切，
∴点（3，2）到6x+8y-59=0的距离为

|6×3+8×2-59|

62+82

=

5

2

即r=

5

2

由x²+y²-4x-2y-k=0得

16+4-4(-k) 2

=

5

2

解得，k=

5

4