Question

（2011•佛山二模）已知双曲线x²-y²=1的一条渐近线与曲线y=

1

3

x3+a相切，则a的值为

2

3

或-

2

3

．

Answer 1

分析：求出双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意可得曲线y=

1

3

x3+a与直线y=x相切，利用导数的几何意义建立关于a的方程，解出切点坐标，再将其代入切线方程即可得到实数a的值．

解答：解：∵双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x
∴曲线y=

1

3

x3+a与直线y=±x相切
可得y'

|

x=x0

=1或-1
即x02=1（舍负），解之得切点坐标为（1，1）或（-1，-1）
当切点为（1，1）时，代入y=

1

3

x3+a得a=

2

3

；
当切点为（-1，-1）时，代入y=

1

3

x3+a得a=-

2

3

综上所述，a的值为

2

3

或-

2

3

故答案为：

2

3

或-

2

3

点评：本题给出双曲线的渐近线与已知曲线相切，求参数a的值，着重考查了双曲线的几何性质和导数的几何意义等知识，属于中档题．