Question

倾斜角为α的直线经过抛物线y²=8x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．
（1）若|AF|，4，|BF|成等差数列，求直线AB的方程；
（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交于x轴于点P，试证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并求此定值．

Answer 1

分析：（1）解1：由|AF|，4，|BF|成等差数列，知|AF|+|BF|=8=|AB|．由y²=8x，知焦点F为（2，0）．设AB的方程为：x=my+2，得y²-8my-16=0，由韦达定理和弦长公式能求出直线AB方程．
解2：令A（x₁•y₁），B（x₂•y₂），则|AF|=x₁+2|BF|=x₂+2，所以线段AB的中点的横标为

x1+x2

2

=2．直线AB过焦点F（2，0），由此能求出直线AB方程．
（2）由已知令直线AB的方程为y=tanα•（x-2），由

y=tanα•(x-2) y2=8x

得：x²tam²α-4（tan²α+2）x+4tan²α=0∴x₁+x₂=

4(tan2α+2)

tanα

y₁+y₂=tanα•（x₁+x₂-4）=

8tanα

tan2α

=

8

tanα

，所以AB中线m的方程为：y-

4

tanα

=-

1

tanα

(x-

2tan2α+4

tan2α

)，由此能够证明|FP|-|FP|cos2α为定值，并能求出此定值．

解答：（1）解法一：∵|AF|，4，|BF|成等差
∴|AF|+|BF|=8=|AB|
∵y²=8x
∴焦点F为（2，0）
设AB的方程为：x=my+2
则由：

y2=8x x=my+2

⇒y2=8（my+2）
得　y²-8my-16=0
∴y₁+y₂=8m，y₁•y₂=-16
∴弦长|AB|=

1+m2

•|y1-y2|
=

1+m2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+m2

•

64m2+64

=8(1+m2)=8
∴m=0
∴直线AB方程为x=2．
解法二：令A（x₁•y₁），B（x₂•y₂），
则|AF|=x₁+2，|BF|=x₂+2
∴|AF|+|BF|=x₁+x₂+4=8
即x₁+x₂=4
∴线段AB的中点的横标为

x1+x2

2

=2
而直线AB过焦点F（2，0），
∴直线AB垂直x轴
即AB方程为x=2．
（2）证明：由已知令直线AB的方程为y=tanα•（x-2），则
由

y=tanα•(x-2) y2=8x

得：
∴x²tanα-4（tan²α+2）x+4tan²α=0，
∴x₁+x₂=

4(tan2α+2)

tanα

y₁+y₂=tanα•（x₁+x₂-4）=

8tanα

tan2α

=

8

tanα

∴AB的中点为(

2(tan2α+2)

tan2α

，

4

tanα

)．
∴AB中垂线m的方程为：y-

4

tanα

=-

1

tanα

(x-

2tan2α+4

tan2α

)
令　y=0得：x=6+

4

tan2α

∴|PF|=|x-2|=4+

4

tan2α

∴|PF|-|PF|•cos2α=|PF|（1-cos2α）=2|PF|•sin²α
=8(1+

1

tan2α

)•sin2α=8×(1+

cos2α

sin2α

)•sin2α
=8．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意韦达定理和弦长公式的灵活运用．