Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：对于， 在区间上有极小值，且极小值大于0.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析: （1）因为， ，曲线在点处的切线方程为: ,代入化简即可; （2）因为,所以在区间上是单调递增函数.因为， ， 所以,使得. 故在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值.因为,所以.构造函数求导判断单调性与最值即可得证.

试题解析:（Ⅰ） 的定义域为，

因为，所以，所以.

因为， ，

所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ） 因为,所以在区间上是单调递增函数.

因为， ，

所以,使得.

所以， ； ， ，

故在上单调递减，在上单调递增，

所以有极小值.

因为,

所以.

设， ，

则，

所以，

即在上单调递减，所以，

即，所以函数的极小值大于0．

点睛:本题考查导数的几何意义以及函数的单调性与极值问题. 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，过点P的切线方程为： .求函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程与求函数y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程意义不同，前者切线有且只有一条，且方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，后者可能不只一条．