Question

设，
（1）证明不等式对所有的正整数n都成立；
（2）设，用定义证明

Answer 1

【答案】分析：（1）考虑a_n和式的通项，先对其进行放缩，结合数列的求和公式即可证得；
（2）欲用定义证明即证对任意指定的正数ε，要使．
解答：证：（1）由不等式
对所有正整数k成立，把它对k从1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜
又因1+2+3+…+n=，以及
＜[1+3+5+…+（2n+1）]=，

对所有的正整数n都成立．
（2）由（1）及b_n的定义知
对任意指定的正数ε，要使，
只要使，即只要使
取N是的整数部分，则数列b_n的第N项以后所有的项都满足
根据极限的定义，证得
点评：本题主要考查不等式的证明，主要采用了放缩法．放缩是一种重要的变形手段，但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握，技巧性较强．