题目内容

设
3
2
≤x≤5，证明不等式：2
x+1
+
2x-3
+
15-3x
＜2
19
．
分析：先利用均值不等式，再利用函数的单调性，即可证得结论．
解答：证明：由均值不等式可得
x+1
+
x+1
+
2x-3
+
15-3x
4
＜
x+1+x+1+2x-3+15-3x
4
=
14+x
4

∴2
x+1
+
2x-3
+
15-3x
＜2
14+x

∵
3
2
≤x≤5，∴y=2
14+x
单调递增，∴2
14+x
≤2
19

∴2
x+1
+
2x-3
+
15-3x
＜2
19
．
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
（2012•辽宁）设f(x)=lnx+
x
-1，证明：
（Ⅰ）当x＞1时，f（x）＜
3
2
（ x-1）；
（Ⅱ）当1＜x＜3时，f(x)＜
9(x-1)
x+5
．
已知函数f(x)=x+
m
x
+m（x∈[1，+∞）且m＜1）．
（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）设函数g(x)=x•f(x)+2x+
3
2
，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
（2013•湖北）设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
（Ⅱ）证明：
nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（参考数据：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．
设n是正整数，r为正有理数．
（Ⅰ）求函数f（x）=（1+x）r+1-（r+1）x-1（x＞-1）的最小值；
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nr+1-(n-1)r+1
r+1
＜nr＜
(n+1)r+1-nr+1
r+1
；
（Ⅲ）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如[2]=2，[π]=4，[-
3
2
]=-1．令S=
381
+
382
+
383
+…+
3125
，求[S]的值．
（参考数据：80
4
3
≈344.7，81
4
3
≈350.5，124
4
3
≈618.3，126
4
3
≈631.7)．

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