Question

如图1所示，在边长为的正方形中，，且，,分别交于点，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱中
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在底边上有一点,,
求证：面
(III)求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略，（Ⅱ）略，（Ⅲ）直线与平面所成角的正弦值为

（Ⅰ）证明：因为，，
所以，从而，即．………………………2分
又因为，而，
所以平面,又平面
所以；………………4分
（Ⅱ）解：过作交于,连接,
因为……………6分


四边形为平行四边形
,所以平面…………………………8分
(III)解：由图1知，,分别以为轴，
则
………10分
设平面的法向量为，
所以得，
令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为…………………………12分