Question

设函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，+∞）时，恒有f（f（x））=2x，且过f（x）图象上，任意两点的直线的斜率都大于1，
求证：（1）f（x）为增函数；
（2）f（x）＞x；
（3）

4

3

＜

f(x)

x

＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）在区间（0，+∞），任取x₁＞x₂，根据f（x）图象上任意两点的直线的斜率都大于1，我们可以得到f（x₁）＞f（x₂），进而根据函数单调性的定义，得到f（x）为增函数；
（2）由已知中函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x∈（0，+∞）时，恒有f（f（x））=2x，分别讨论f（x）=x，f（x）＜x，是否符合题目要求，进而可得f（x）＞x恒成立；
（3）由已知中当x∈（0，+∞）时，恒有f（f（x））=2x，及f（x）图象上任意两点的直线的斜率都大于1，取（x，f（x））点和（f（x），f[f（x）]）点，可得

f(x)

x

＜

3

2

，取（f（x），f[f（x）]）点和（f[f（x）]，f{f[f（x）]}）点，可得

f(x)

x

＞

4

3

，进而得到结论．

解答：证明：（1）设x₁＞x₂＞0
∴k=

f(x 1)-f(x2)

x1-x2

＞1∴f(x1)＞f(x2)
∴f（x）为增函数
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，+∞）时，恒有f（f（x）=2x
∴f（x）＞0
若f（x）=x，则f（f（x））=f（x）=2x=x不符合要求
若f（x）＜x，则f[f（x）]＜f（x）得2x＜x
∴x＜0不符合题意要求
∴f（x）＞x
（3）∵过f（x）图象上任意两点的直线的斜率都大于1
∴

f[f(x)]-f(x)

f(x)-x

＞1
∴2x-f(x)＞f(x)-x∴

f(x)

x

＜

3

2

；
∵过f（x）图象上任意两点的直线的斜率都大于1
∴

f{f[f(x)]}-f[f(x)]

f[f(x)]-f(x)

＞1
∴

2f(x)-2x

2x-f(x)

＞1∴2f(x)-2x＞2x-f(x)∴

f(x)

x

＞

4

3

综上，

4

3

＜

f(x)

x

＜

3

2

．

点评：本题考查的知识点是函数的单调性，穷举法证明，抽象函数的值域，其中（1）中根据已知选取作商法比较简便，（2）中要用穷举法分别讨论f（x）=x，f（x）＜x，是否符合题目要求，而（3）的关键是利用抽象函数解答中“凑”的思想．