Question

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则ab的最大值是

1. A.
   4
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，把圆心坐标代入直线2ax-by+2=0，利用基本不等式求出ab的最大值．
解答：圆x²+y²+2x-4y+1=0 即 （x+1）² +（y-2）²=4，表示圆心在（-1，2），半径等于2的圆，
由题意知，圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）上，
∴-2a-2b+2=0．
再由 a+b=1≥2，∴1≥4ab，ab≤，
故ab的最大值是 ，
故选 C．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，判断圆心（-1，2）在直线2ax-by+2=0上是解题的关键，属于中档题．