Question

已知A₁，A₂，…，A_n，…依次在x轴上，（n=2，3，…），点B₁，B₂，…，B_n，…依次在射线y=x（x≥0）上，且B₁（3，3），=
（1）用n表示A_n，B_n的坐标；
（2）若四边形A_nA_n+1B_n+1B_n面积为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意是一个等比关系，故根据等比数列公式求其通项，进而求出示A_n，B_n的坐标；
（2）由题意（1）中数列的前n项和即为An的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B1，B2，…，Bn，…即可得出Bn的坐标；根据四边形AnAn+1Bn+1Bn的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积来求，求出面积的表达式，再作差Sn-Sn-1，确定其单调性，然后求出最大值．
解答：解：（Ⅰ）∵，又∵，
∴=
∴=++…+=（4+2+…+，0）=（，0）
∴
又∵B₁（3，3），
∴=3
又∵=
∴=（2n+1）
∵点B₁，B₂，…，B_n，…依次在射线y=x（x≥0）上，
∴B_n（2n+1，2n+1）
（2）∵，△A_nA_n+1B_n+1的底面边A_nA_n+1的高为h₁=2n+3，
又∵，点到直线y=x的距离为h₂=
∴S_n==
∴S_n-S_n-1=
当n≤2时，S_n-S_n-1＞0；
当n≥2时，S_n-S_n-1＜0；
∴S₁＜S₂＞S₃＞…＞Sn＞…
∴S_max=S₂=12
点评：本题是一个数列应用题，也是等差等比数列的一个综合题，本题有着一个几何背景，需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法．本题是个难题，比较抽象．