Question

【题目】已知椭圆长轴的两个端点分别为，， 离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）作一条垂直于轴的直线，使之与椭圆在第一象限相交于点，在第四象限相交于点，若直线与直线相交于点，且直线的斜率大于，求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用已知条件，求得，再由，求得的值，即可求解；

（2）设，其中，，可得，求得直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，得出直线斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率的取值范围.

（1）由题意知，椭圆长轴的两个端点分别为，，可得，

又由，即，可得，

又因为，

所以椭圆的标准方程为.

（2）设，其中，，可得，

由斜率公式，可得，，

所以直线的方程为；直线的方程为，

联立方程组，解得，即点，

所以，即，

又由，

令，，则

所以，

因为，所以，则，

所以，即实数直线的斜率的取值范围.