Question

【题目】已知抛物线：经过点.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为 （2）证明见解析

【解析】

（1）将点代入抛物线即可求出答案.

（2）根据题意设出直线：、、，联立直线与抛物线，即可得出.即可求出点、，要证以为直径的圆经过轴上的两个定点.则只需证明在轴上存在两点使.

解：（Ⅰ）由抛物线：经过点，得.

所以抛物线的方程为，其准线方程为.

（Ⅱ）抛物线的焦点为，设直线的方程为.

由，得.

设，，则.

直线的方程为，令，得点的横坐标为.

同理可得点的横坐标.

设点，则.

.

令，即，得或.

综上，以为直径的圆经过轴上的定点和.