Question

（本题满分15分）已知函数  且导数.

  （Ⅰ）试用含有的式子表示，并求单调区间;  （II）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“伴侣切线”.特别地，当时，又称存在“中值伴侣切线”.试问：在函数上是否存在两点、使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 在上单调递增，在上单调递减   (Ⅱ)  不存在

解析:

（Ⅰ）的定义域为  ， 得：  …2分  代入：  得

当时，  由 ，得

又  即 在上单调递增          ……4分

当时，  由 ，得

又  即 在上单调递减

 在上单调递增，在上单调递减             ……6分

（II）  在函数上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”。

假设存在两点，不妨设，则

，

=     ……8分

在函数图象处的切线斜率

  

得：

化简得：， …… 11分

令，则，上式化为：，即

若令，

由， 在上单调递增，

这表明在内不存在，使得             ……14分

综上所述，在函数上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”。 …15分