Question

【题目】已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x+ +2的图象关于点A（0，1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）x+ax，且g（x）在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的图象与h（x）关于A（0，1）对称，设f（x）图象上任意一点坐标为B（x，y），

其关于A（0，1）对称点B′（x′，y′）．

则 ，∴ ，

∵B′（x′，y′）在h（x）上，∴y′=x′+ +2．

∴2﹣y=﹣x﹣ +2，即y=x+ ，

则f（x）=x+

（2）解：g（x）=f（x）x+ax=（x+ ）x=x2+ax+1，

其对称轴方程为x=﹣ ，

∵g（x）在[0，2]上为减函数，

∴﹣ ≥2，即a≤﹣4，

∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]

【解析】(1)由已知利用点的对称得出点B的坐标，再利用点B‘在h（x）上得出其函数关系式。（2）整理g（x）的解析式得到关于x的二次函数，根据已知限制对称轴在指定区间的右侧，进而得到a的取值范围。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的图象的相关知识，掌握函数的图像是由直角坐标系中的一系列点组成；图像上每一点坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，他的横坐标x表示自变量的某个值，纵坐标y表示与它对应的函数值，以及对函数单调性的判断方法的理解，了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．