Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M (

1

2

，

1

2

)且被M点平分的弦所在直线的方程．
（3）“设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程，利用短轴一个端点到右焦点的距离为

3

，离心率为

6

3

，可求椭圆C的标准方程；
（2）设这条弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k，由点差法即可得到

x1+x2

3

+k(y1+y2)=0，再由弦中点为M (

1

2

，

1

2

)，求出k，由此能求出这条弦所在的直线方程；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．分①当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时求出|AB|．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，由坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，可得到m2=

3

4

(k2+1)．同时与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出|AB|．

解答：解：（1）因为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，
所以

c

a

=

6

3

，
又由短轴一个端点到右焦点的距离为

3

，
则a=

3

．
所以c=

2

，b²=a²-c²=3-2=1，
所以b²=a²-c²=1
所以椭圆C的标准方程是

x2

3

+y2=1；
（2）解：设这条弦的两端点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），斜率为k，
则

x12 3 +y12=1 x22 3 +y22=1

，
两式相减再变形得

(x1+x2)(x1-x2)

3

+(y1+y2)(y1-y2)=0，
即

x1+x2

3

+k(y1+y2)=0，
又弦中点为M (

1

2

，

1

2

)，故k=-

1

3

，
故这条弦所在的直线方程y-

1

2

=-

1

3

（x-

1

2

），整理得2x+6y-4=0；
（3）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，∵坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，
∴可取A（

3

2

，y₁），代入椭圆得

( 3 2 )2

3

+y12=1，解得y1=±

3

2

．
∴|AB|=

3

．
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，
由坐标原点O到直线l的距离为

3

2

可得

|m|

1+k2

=

3

2

，即m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，消去y得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=-

6km

3k2+1

，x1x2=

3m2+1

3k2+1

．
∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

．
当k≠0时，
|AB|2=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

≤3+

12

2×3+6

，
当且仅当k2=

1

3

时取等号，此时|AB|=2．
当k=0时，|AB|=

3

．
综上可知：|AB|_max=2．△OAB的面积最大值为=

1

2

×2×

3

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，弦的中点问题，三角形面积的计算，基本不等式的运用，属于中档题．