Question

12．实数x，y，z满足x²+y²+z²=1，则xy-yz的最小值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 设$\left\{\begin{array}{l}{x=cosβsinα}\\{z=cosβcosα}\\{y=sinβ}\end{array}\right.$，$（α，β∈[0，\frac{π}{2}]）$．可得xy-yz=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2βsin（α-φ），即可得出．

解答 解：设$\left\{\begin{array}{l}{x=cosβsinα}\\{z=cosβcosα}\\{y=sinβ}\end{array}\right.$，$（α，β∈[0，\frac{π}{2}]）$．
∴xy-yz=sinβcosβ（sinα-cosα）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2βsin（α-φ）$≥-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴xy-yz的最小值为$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了球坐标的应用、和差公式与倍角公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．