Question

18．定义取整函数[x]，它表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2，[3.1]=3，[-2.6]=-3等，设函数f（x）=$\frac{{2016}^{x}}{1{+2016}^{x}}$，x＞0，则函数g（x）=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域为{-1，0}．

Answer 1

分析 令t（x）=$\frac{201{6}^{x}-1}{2（1+201{6}^{x}）}$，判断其奇偶性，并求得t（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{201{6}^{x}+1}$∈（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），然后分t（x）=0和t（x）≠0求解函数值域．

解答 解：∵f（x）=$\frac{201{6}^{x}}{1+201{6}^{x}}$，∴f（x）-$\frac{1}{2}$=$\frac{201{6}^{x}}{1+201{6}^{x}}$$-\frac{1}{2}$=$\frac{201{6}^{x}-1}{2（1+201{6}^{x}）}$，
令t（x）=$\frac{201{6}^{x}-1}{2（1+201{6}^{x}）}$，则t（-x）=$\frac{201{6}^{-x}-1}{2（1+201{6}^{-x}）}=\frac{1-201{6}^{x}}{2（1+201{6}^{x}）}$=-t（x），
即t（x）为奇函数，又t（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{201{6}^{x}+1}$∈（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
当t（x）=0时，[t（x）]+[t（-x）]=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=0；
当t（x）≠0时，不妨设t（x）＞0，则[t（x）]=0，[t（-x）]=-1，
则[t（x）]+[t（-x）]=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]=-1．
∴函数g（x）=[f（x）-$\frac{1}{2}$]+[f（-x）-$\frac{1}{2}$]的值域为{-1，0}．
故答案为：{-1，0}．

点评 本题考查函数值域的求法，考查函数奇偶性的性质，考查逻辑思维能力和推理运算能力，是中档题．