Question

在△ABC中，设向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(sinB，cosA)且

m

∥

n

，

m

≠

n

．
（1）求证：A+B=

π

2

；
（2）求sinA+sinB的取值范围；
（3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，试确定实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得sin2A=sin2B，进而可得A=B，或A+B=

π

2

，经验证可排除A=B；
（2）可得sinA+sinB=sinA+sin（

π

2

-A）=

2

sin（A+

π

4

），由A的范围逐步可得；
（3）可得x=

sinA+cosA

sinA•cosA

，令sinA+cosA=t∈（1，

2

]，换元后可得关于t的函数，由t的范围可得．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinA，cosB)，

n

=(sinB，cosA)且

m

∥

n

，
∴sinAcosA-sinBcosB=0，即sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，
化简可得A=B，或A+B=

π

2

，但A=B时有

m

=

n

，与已知矛盾，故舍去，
故有A+B=

π

2

；
（2）由（1）可知A+B=

π

2

，故sinA+sinB=sinA+sin（

π

2

-A）
=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

），
∵0＜A＜

π

2

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，∴1＜

2

sin（A+

π

4

）≤

2

故sinA+sinB的取值范围是（1，

2

]；
（3）由题意可知x=

sinA+sinB

sinA•sinB

=

sinA+cosA

sinA•cosA

，
设sinA+cosA=t∈（1，

2

]，则t²=1+2sinAcosA，故sinAcosA=

t2-1

2

，
代入可得x=

t

t2-1 2

=

2t

t2-1

=

2

t- 1 t

≥

2

2 - 1 2

=2

2

故实数x的取值范围为：[2

2

，+∞）

点评：本题考查向量的平行和共线，涉及三角函数的运算，属基础题．