题目内容

过椭圆 $数学公式$ 的左顶点A做圆x²+y²=b²的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y²=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则 $数学公式$ 的值为________．

$\text{[math]}$
分析：由抛物线于y²=4ax得到焦点F（a，0），连接OB，CF．由O，B分别是线段AF，AC的中点，可得|CF|=2|OB|=2b，利用抛物线的定义得x_C+a=2b，得到x_C=2b-a，进而得到点C的坐标，
由直线AC与圆x²+y²=b²的相切的性质即可得出．
解答：如图所示，

由抛物线于y²=4ax得到焦点F（a，0），连接OB，CF．
∵O，B分别是线段AF，AC的中点，∴|CF|=2|OB|=2b，
∴点C的横坐标满足x_C+a=2b，得到x_C=2b-a，
由 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ （取y_C＞0）．
∴C $\text{[math]}$ ．
∴直线AC的方程为 $\text{[math]}$ ，化为 $\text{[math]}$ ．
∵直线AC与圆x²+y²=b²的相切，∴ $\text{[math]}$ ，
化为（a²-ab-b²）²=0，即a²-ab-b²=0，化为 $\text{[math]}$ ．又∵ $\text{[math]}$ ．
解得 $\text{[math]}$ ．
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义、标准方程及性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式是解题的关键．本题需要较强的计算能力．

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，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

过椭圆

=1(a＞b＞0)的左顶点A做圆x²+y²=b²的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y²=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则

的值为

．

(文) 已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C₁的方程；（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

过椭圆

的左顶点A做圆x²+y²=b²的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y²=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则

的值为．

过椭圆的左顶点A做圆x2+y2=b2的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y2=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则的值为________．

试题分类

过椭圆 $数学公式$ 的左顶点A做圆x²+y²=b²的切线，切点为B，延长AB交抛物线于y²=4ax于点C，若点B恰为A、C的中点，则 $数学公式$ 的值为________．