Question

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）过椭圆C₁的左顶点A做直线m，与圆O相交于两点R、S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由离心率为

3

3

，求出a，b，c的关系，再利用直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切，求出b即可求椭圆C₁的方程；
（2）把题中条件转化为动点M的轨迹是以l₁：x=-1为准线，F₂为焦点的抛物线，即可求点M的轨迹C₂的方程；
（3）先设出点R，S的坐标，利用△ORS是钝角三角形，求得

OR

•

OS

＜0，即

OR

•

OS

=x1x2+y1y2，从而求出斜率k的取值范围．

解答：解：（1）由e=

3

3

，得

b2

a2

=1-e=

2

3

；（2分）
由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得

2

2

=|b|．所以，b=

2

，a=

3

所以椭圆的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．（4分）
（2）由条件，知|MF₂|=|MP|．即动点M到定点F₂的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C₂的方程是y²=4x．                     （8分）
（3）由（1），得圆O的方程是x2+y2=2，A(-

3

，0)，直线m的方程是y=k(x+

3

)
设R(x1，y1)，S(x2，y2)，由

x2+y2=2 y=k(x+ 3 )

得(1+k2)x2+2

3

k2x+3k2-2=0（10分）
则x1+x2=-

2 3 k2

1+k2

，x1x2=

3k2-2

1+k2

；
由△=(2

3

k2)2-4(1+k2)(3k2-2)＞0，得-

2

＜k＜

2

．①（12分）
因为△ORS是钝角三角形，所以

OR

•

OS

＜0，即

OR

•

OS

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=(1+k2)x1x2+

3

k2(x1+x2)+3k2=

4k2-2

1+k2

＜0
所以-

2

2

＜k＜

2

2

．②（13分）
由A、R、S三点不共线，知k≠0．                              ③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是-

2

2

＜k＜

2

2

，且k≠0（14分）
（注：其它解法相应给分）

点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．