Question

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对定义域每的任意恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）证明：对于任意正整数，不等式恒成立。

Answer 1

. 。
（Ⅰ）当时，若，则，若，则，故此时函数的单调递减区间是，单调递增区间是；
当时，的变化情况如下表：

	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，，函数的单调递增区间是；
当时，同可得，函数的单调递增区间是，单调递减区间是。
（Ⅱ）由于，显然当时，，此时对定义域每的任意不是恒成立的，
当时，根据（1），函数在区间的极小值、也是最小值即是，此时只要即可，解得，故得实数的取值范围是。
（Ⅲ）当时，，等号当且仅当成立，这个不等式即，当时，可以变换为，
在上面不等式中分别令，

所以 

略