Question

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，右顶点为D（2，0），设点A(1，

1

2

)．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（II）过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴a=2，半焦距c=

3

，则半短轴b=1．
又椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1
 （II）设该直线方程为y=kx，代入

x2

4

+y2=1
解得B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（ -

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
则 |BC|=4

1+k2

1+4k2

，又点A到直线BC的距离d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

|AB|•d=

|2k-1|

1+4k2

于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

由

4k

4k2+1

≥-1，得S_△ABC≤

2

，其中，当k=-

1

2

时，等号成立．
∴S_△ABC的最大值是

2

．直线方程为y=-

1

2

x