Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(-

3

，0)，且过点D（2，0）．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设点A(1，

1

2

)，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根据题意可得a=2且c=

3

，从而b=

a2-b2

=1，得到椭圆的标准方程；
（2）设点P（x₀，y₀），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x₀、y₀表示成关于x、y的式子，将P（x₀，y₀）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．

解答：解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为F(-

3

，0)，
∴a=2，c=

3

，可得b=

a2-b2

=1
因此，椭圆的标准方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设点P的坐标是（x₀，y₀），线段PA的中点为M（x，y），
由根据中点坐标公式，可得

x= x0+1 2 y= y0+ 1 2 2

，整理得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆上，
∴可得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，化简整理得(x-

1

2

)2+

(y- 1 4 )2

1 4

=1，
由此可得线段PA中点M的轨迹方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆方程并求与之有关的一个轨迹方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和轨迹方程的求法等知识点，属于中档题．