题目内容

计算出数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，…，1+2+3+…+n+…+3+2+1，…的前n项，并猜想出数列的通项公式，然后用归纳法证明.

解：计算并观察得1=12，1+2+1=4=22，1+2+3+2+1=9=32.

由此猜想得1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2.故an=a2.

即数列的通项公式为an=n2.

下面用数学归纳法证明：

1°当n=1时，a1=1=12，猜想正确；

2°假设n=k时猜想正确，即

ak=1+2+3+…+k+…+3+2+1=k2，

那么ak+1=1+2+3+…+k+（k+1）+k+…+3+2+1

=（1+2+3+…+k+…+3+2+1）+（k+1）+k

=k2+2k+1=（k+1）2.

∴n=k+1时猜想正确.

由1°2°可知1+2+3+…+n+…+3+2+1=n2对任意正整数均成立.

练习册系列答案
相关题目
根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈A，计算出x1=f（x0）；②若x1∉A，则数列发生器结束工作；若x1∈A，则输出x1，并将x1反馈回输入端，再计算出x2=f（x1），并依此规律继续下去．若集合A={x|0＜x＜1}}，f（x）=
mx
m+1-x
（m∈N*）．
（理）（1）求证：对任意x0∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}；
（2）若x0=
1
2
，记an=
1
xn
（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，证明：3≤am＜4（n∈N*）．
（文）（1）求证：对任意x0∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}；
（2）若m=1，求证：数列{xn}单调递减；
（3）若x0=
1
2
，记an=
1
xn
（n∈N*），求数列{an}的通项公式．
若数列{an}，{bn}中，a1=a，b1=b，
an=-2an-1+4bn-1
bn=-5an-1+7bn-1
，（n∈N，n≥2）．请按照要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上．
（1）可考虑利用算法来求am，bm的值，其中m为给定的数据（m≥2，m∈N）．右图算法中，虚线框中所缺的流程，可以为下面A、B、C、D中的
ACD
ACD

（请填出全部答案）
A、B、
C、D、

（2）我们可证明当a≠b，5a≠4b时，{an-bn}及{5an-4bn}均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空．
证明：{an-bn}是等比数列，过程如下：an-bn=（-2an-1+4bn-1）+（5an-1-7bn-1）=3an-1-3bn-1=3（an-1-bn-1）
所以{an-bn}是以a1-b1=a-b≠0为首项，以
3
3
为公比的等比数列；
同理{5an-4bn}是以5a1-4b1=5a-4b≠0为首项，以
2
2
为公比的等比数列
（3）若将an，bn写成列向量形式，则存在矩阵A，使
an
bn
=A
an-1
bn-1
=A(A
an-2
bn-2
)=A2
an-2
bn-2
=…=An-1
a1
b1
，请回答下面问题：
①写出矩阵A=
-24
-57
-24
-57
；  ②若矩阵Bn=A+A2+A3+…+An，矩阵Cn=PBnQ，其中矩阵Cn只有一个元素，且该元素为Bn中所有元素的和，请写出满足要求的一组P，Q：
P=
1 
1 
，Q=
1
1
P=
1 
1 
，Q=
1
1
； ③矩阵Cn中的唯一元素是
2n+2-4
2n+2-4
．
计算过程如下：
计算出数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，…，1+2+3+…+n+…+3+2+1，…的前n项，并猜想出数列的通项公式，然后用数学归纳法证明.

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈A，计算出x1=f（x）；
②若x∉A，则数列发生器结束工作；
若x∈A，则输出x1，并将x1反馈回输入端，再计算出x2=f（x1）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，（m∈N*）．
（1）求证：对任意x∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}；
（2）若，记（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）在得条件下，证明（m∈N*）．

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