Question

根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x₀∈A，计算出x₁=f（x₀）；②若x₁∉A，则数列发生器结束工作；若x₁∈A，则输出x₁，并将x₁反馈回输入端，再计算出x₂=f（x₁），并依此规律继续下去．若集合A={x|0＜x＜1}}，f（x）=

mx

m+1-x

（m∈N^*）．
（理）（1）求证：对任意x₀∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}；
（2）若x₀=

1

2

，记a_n=

1

xn

（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，证明：3≤a_m＜4（n∈N^*）．
（文）（1）求证：对任意x0∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{x_n}；
（2）若m=1，求证：数列{x_n}单调递减；
（3）若x₀=

1

2

，记a_n=

1

xn

（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（理科）（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N^*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故对任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列；
（2）易证{b_n}是以

m+1

m

为首项，以

m+1

m

为公比的等比数列，从而求出b_n=(

m+1

m

)n，从而求出a_n=(

m+1

m

)n+1；
（3）要证3≤(

m+1

m

)m+1＜4，只需证2≤(1+

1

m

)m＜3，当m∈N^*时，利用二项式定理以及放缩法证明不等式即可．
（文科）（1）同理科（1）；
（2）m=1时，f（x）=

x

2-x

（0＜x＜1），依题意，

1

xn+1

=

2

xn

-1⇒

1

xn+1

-1=2（

1

xn

-1）⇒{

1

xn

-1}是以

1

x1

-1=2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{

1

xn

-1}的通项公式，即可可证数列{x_n}单调递减；
（3）同理科（2）．

解答：解：（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N^*，可知m+1-x＞0，
∴

mx

m+1-x

＞0，又

mx

m+1-x

-1=

(m+1)(x-1)

m+1-x

＜0，
∴

mx

m+1-x

＜1，
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故对任意x₀∈A，有x₁=f（x₀）∈A，
由 x₁∈A 有x₂=f（x₁）∈A，
x₂∈A 有x₃=f（x₂）∈A；
以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列
（2）由x_n+1=f（x_n）=

mxn

m+1-xn

，可得

1

xn+1

=

m+1

m

•

1

x

-

1

m

，
∴a_n+1=

m+1

m

a_n-

1

m

，即a_n+1-1=

m+1

m

（a_n-1）．
令b_n=a_n-1，则b_n+1=

m+1

m

b_n，又b₁=

m+1

m

，
所以{b_n}是以

m+1

m

为首项，以

m+1

m

为公比的等比数列．
∴b_n=(

m+1

m

)n，即a_n=(

m+1

m

)n+1，即a_n=b_n+1．
（3）要证3≤a_m=(

m+1

m

)m+1＜4，只需证2≤(1+

1

m

)m＜3，当m∈N^*时，
有(1+

1

m

)m=

C

0 m

•(

1

m

)0+

C

1 m

•(

1

m

)1+…+

C

m m

•(

1

m

)m≥2，
∵当k≥2时，

C

k m

•(

1

m

)k=

m(m-1)…(m-k+1)

k!

•(

1

m

)k＜

1

k!

≤

1

k-1

-

1

k

，
∴当k≥2时，(1+

1

m

)m=

C

0 m

•(

1

m

)0+

C

1 m

•(

1

m

)1+…+

C

m m

•(

1

m

)m
＜1+1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=3-

1

n

＜3．
又当m=1时，2≤(1+

1

1

)1=2＜3，
∴对任意的n∈N^*，都有2≤(1+

1

m

)m＜3，
∴对于任意m∈N^*，3≤a_m＜4．
文科（1）同理科（1）略；
（2）m=1时，f（x）=

x

2-x

（0＜x＜1），
依题意，x_n+1=

mxn

m+1-xn

=

xn

2-xn

，
∴

1

xn+1

=

2

xn

-1，
∴

1

xn+1

-1=2（

1

xn

-1），又x₁=

mx0

m+1-x0

=

x0

2-x0

，
∴

1

xn

-1=

2

x0

-2＞0，
∴数列{

1

xn

-1}是以

2

x0

-2为首项，2为公比的等比数列，
∴

1

xn

-1=（

2

x0

-2）•2^n-1，
∴

1

xn

=（

2

x0

-2）•2^n-1+1，显然数列{

1

xn

}为正项递增数列，
∴数列{x_n}为递减数列．
（3）同理科（2）．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及无穷数列的证明和二项式定理证明不等式，属于难题．