Question

设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则当

xy

z

取得最大值时，

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值为

1

．

Answer 1

分析：由正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，可得z=x²-3xy+4y²．于是

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

，利用基本不等式即可得到最大值，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y²．于是

2

x

+

1

y

-

2

z

=

2

2y

+

1

y

-

2

2y2

=-(

1

y

-1)2+1，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：由正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，∴z=x²-3xy+4y²．
∴

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

≤

1

2 x y • 4y x -3

=1，当且仅当x=2y＞0时取等号，此时z=2y²．
∴

2

x

+

1

y

-

2

z

=

2

2y

+

1

y

-

2

2y2

=-(

1

y

-1)2+1≤1，当且仅当y=1时取等号，即

2

x

+

1

y

-

2

z

的最大值是1．
故答案为1．

点评：熟练掌握基本不等式的性质和二次函数的单调性是解题的关键．