Question

设正实数x，y，z满足x+2y+z=1，则

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

的最小值为

7

．

Answer 1

分析：把式子

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

中的1换成已知条件（x+y）+（y+z）=1，化简后再利用基本不等式即可．

解答：解：∵正实数x，y，z满足x+2y+z=1，
∴

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

=

x+y+y+z

x+y

+

9(x+y)

y+z

=1+

y+z

x+y

+

9(x+y)

y+z

≥1+2

y+z x+y × 9(x+y) y+z

=7，当且仅当

y+z

x+y

=

9(x+y)

y+z

，x+y+y+z=1，即x+y=

1

4

，y+z=

3

4

时，取等号．
∴则

1

x+y

+

9(x+y)

y+z

的最小值为7．
故答案为7．

点评：适当变形应用基本不等式是解题的关键．