Question

18．已知某圆锥曲线和椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有相同的焦点，且经过圆（x-4）²+（y+$\sqrt{15}$）²=64的圆心，求此圆锥曲线的方程．

Answer 1

分析 由已知椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，求出圆的圆心坐标，然后分所求曲线是椭圆和双曲线讨论，利用定义求出椭圆的长半轴和双曲线的实半轴，再由隐含条件求出对应的短半轴和虚半轴，则圆锥曲线方程可求．

解答 解：由椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得${{a}_{1}}^{2}=25，{{b}_{1}}^{2}=16$，∴${c}^{2}={{a}_{1}}^{2}-{{b}_{1}}^{2}=9$．
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦点坐标为F₁（-3，0），F₂（3，0）．
又圆（x-4）²+（y+$\sqrt{15}$）²=64的圆心坐标为（4，-$\sqrt{15}$），
若所求圆锥曲线为椭圆，则2a=$\sqrt{（4+3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}+\sqrt{（4-3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}$=12．
∴a=6，则b²=a²-c²=36-9=27．
椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}=1$；
若所求圆锥曲线为双曲线，则2a=$\sqrt{（4+3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}-\sqrt{（4-3）^{2}+（-\sqrt{15}）^{2}}$=4．
∴a=2，则b²=c²-a²=9-4=5．
双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

点评 本题是圆与圆锥曲线的综合题，考查了椭圆、双曲线的定义，考查了椭圆与双曲线的几何性质，是中档题．