题目内容
设直线l：y=x+1与椭圆
+
=1(a＞b＞0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点F．
（Ⅰ）证明：a2+b2＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且
=2
，求椭圆的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）证明：a2+b2＞1；
（Ⅱ）若F是椭圆的一个焦点，且
| AF |
| FB |
证明：（Ⅰ）将y=x+1代入
+
=1，消去x，得（a2+b2）y2-2b2y+b2（1-a2）=0①
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b4-4b2（a2+b2）（1-a2）=4a2b2（a2+b2-1）＞0
所以a2+b2＞1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由①，得y1+y2=
，y1y2=
因为
=2
，得y1=-2y2
所以，y1+y2=
=-y2，y1y2=
=-2
消去y2，得
=-2(
)2
化简，得（a2+b2）（a2-1）=8b2
若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2-1，
代入上式，解得a2=
，b2=
，
所以，椭圆的方程为：
+
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得△=4b4-4b2（a2+b2）（1-a2）=4a2b2（a2+b2-1）＞0
所以a2+b2＞1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由①，得y1+y2=
| 2b2 |
| a2+b2 |
| b2(1-a2) |
| a2+b2 |
因为
| AF |
| FB |
所以，y1+y2=
| 2b2 |
| a2 |
| b2(1-a2) |
| a2+b2 |
| y | 22 |
消去y2，得
| b2(1-a2) |
| a2+b2 |
| 2b2 |
| a2+b2 |
化简，得（a2+b2）（a2-1）=8b2
若F是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2-1，
代入上式，解得a2=
| 9 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
所以，椭圆的方程为：
| 2x2 |
| 9 |
| 2y2 |
| 7 |
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