Question

【题目】已知椭圆C1： =1（a＞b＞0）的离心率e= ，且过点 ，直线l1：y=kx+m（m＞0）与圆C2：（x﹣1）2+y2=1相切且与椭圆C1交于A，B两点． （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）过原点O作l1的平行线l2交椭圆于C，D两点，设|AB|=λ|CD|，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ， 解得a=4，b=2，
故 ；
（Ⅱ）联立 ，
化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，
△＞0恒成立，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则 ，得 ，
∴ ，
把l2：y=kx代入 ，得 ，
∴ ，
∴
= = ，
当 ，λ取最小值 ．
【解析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线l1的方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求得AB的长度，联立直线l2的方程与椭圆方程，求出CD的长度，结合|AB|=λ|CD|利用换元法求解λ的最小值．