Question

已知椭圆经过点，两焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l交椭圆C于A、B两点（A、B不是上下顶点），当以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）时，试问：直线l是否过定点，若过定点．求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且，可得△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c，再利用椭圆经过点，即可求得椭圆的方程；
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，利用以AB为直径的圆恒过定点P（0，1），可求l的方程；②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，代入椭圆方程，利用以AB为直径的圆恒过定点P（0，1），结合韦达定理，可得结论．
解答：解：（1）∵焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且
∴△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c
∴a=
∴
∵椭圆经过点，
∴
∴b=1
∴
∴椭圆的方程为；
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，代入椭圆方程，可得
∴A（m，），B（m，-），
∵以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）
∴
∴（m，-1）•（m，--1）=0，
∴m=0
∴l：x=0；
②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
△=16k²-8b²+8＞0，∴2k²＞b²-1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）
∴
∴=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴3b²-2b-1=0
∴或b=1
当b=1时，不符合题意；
当时，直线l恒过定点（0，-）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．