Question

已知椭圆C：，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：（c是椭圆的焦半距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．
（1）若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；
（2）当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值（O是坐标原点）；
（3）若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）令椭圆mx²+ny²=1，得，由此能求出椭圆方程．
（2）直线，设点P（x，y），点O，M，P，N所在的圆的方程为x²-xx+y²-yy=0，与圆作差，即有直线，因为点P（x，y）在直线AB上，所以，由此能求出 的值．
（3）由直线AB与圆G：相离，知e⁴-6e²+4＞0．因为0＜e＜1，所以，连接ON，OM，OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，所以e⁴-3e²+1≤0．由此能求出椭圆离心率的取值范围．
解答：解：（1）令椭圆mx²+ny²=1，其中，
得，所以，即椭圆为．         …（3分）
（2）直线，
设点P（x，y），则OP中点为，
所以点O，M，P，N所在的圆的方程为，
化简为x²-xx+y²-yy=0，…（5分）
与圆作差，即有直线，
因为点P（x，y）在直线AB上，所以，
所以，所以，
得，，故定点，…（8分）
．                          …（9分）
（3）由直线AB与圆G：（c是椭圆的焦半距）相离，
则，即4a²b²＞c²（a²+b²），4a²（a²-c²）＞c²（2a²-c²），
得e⁴-6e²+4＞0
因为0＜e＜1，所以，①…（11分）
连接ON，OM，OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP=2ON=2r=c，
所以，a²b²≤c²（a²+b²），a²（a²-c²）≤c²（2a²-c²），得e⁴-3e²+1≤0
因为0＜e＜1，所以，②…（14分）
由①②，，
所以．                                     …（15分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．