Question

（本小题15分）

已知椭圆C：，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G： （是椭圆的焦半距）相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N．

（1）若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；

（2）当为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值（O是坐标原点）；

（3）若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

解：（1）令椭圆，其中，

得，所以，即椭圆为．         ………3分

（2）直线，

设点，则中点为，

所以点所在的圆的方程为，

化简为，                                  ………5分

与圆作差，即有直线，

因为点在直线上，所以，

所以，所以，

得，故定点，   …8分

．                          ………9分

（3）由直线AB与圆G： （是椭圆的焦半距）相离，

则，即，，

得

因为， 所以，①              ………11分

连接若存在点使为正三角形，则在中，，

所以，，

，得

因为，所以，②                            ………14分

由①②，，

所以．                                     ………15分