题目内容

设 $数学公式$ 、 $数学公式$ 是两个起点相同且不共线的非零向量，则当实数t=________时， $数学公式$ ，t $数学公式$ ， $数学公式$ （ $数学公式$ + $数学公式$ ）三向量的终点共线．

$\text{[math]}$
分析：A、B、C三点共线，即向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，故存在实数λ，使得 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，即 t $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），比较系数可求得实数t．
解答：记 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，t $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，A、B、C三点共线，即向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，
故存在实数λ，使得 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ 即：t $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =λ（ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ），
∵ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不共线（很重要！）
∴t= $\text{[math]}$ 且1= $\text{[math]}$ ，
∴t= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查证明三点共线的方法：A、B、C三点共线，即向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 共线，故存在实数λ，使得 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ．