题目内容
（选做题）
如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点且CD⊥AB于C，E，F分别为圆上的点满足∠ACF=∠BCE，直线FE、AB交于P，求证：PD为⊙O的切线．
如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点且CD⊥AB于C，E，F分别为圆上的点满足∠ACF=∠BCE，直线FE、AB交于P，求证：PD为⊙O的切线．
证明：延长FC交圆与G，连接GB、OD，如图．
∠POF=2∠OAF，而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，
∴∠POF=∠PEC
又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC
在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，∠PGC=∠PEC，
∴△PGC∽△FOC，
∴PC·OC=GC·FC，
又CD2=GC·FC，
∴PC·OC=CD2
∴△PDC∽△DOC．
∴∠PDC=∠DOC，
∵∠DOC+∠ODC=90°，
∴∠PDC+∠ODC=90°，
∴PD是⊙O的切线．
∠POF=2∠OAF，而∠PEC=∠PEB+∠BEC=∠PAF+∠BGC=∠PAF+∠PAF=2∠PAF，
∴∠POF=∠PEC
又根据圆的对称性，得∠PGC=∠PEC
在△PGC和△FOC中，∠1=∠2，∠PGC=∠PEC，
∴△PGC∽△FOC，
∴PC·OC=GC·FC，
又CD2=GC·FC，
∴PC·OC=CD2
∴△PDC∽△DOC．
∴∠PDC=∠DOC，
∵∠DOC+∠ODC=90°，
∴∠PDC+∠ODC=90°，
∴PD是⊙O的切线．
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