Question

已知过抛物线y²=4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.

Answer 1

思路分析：弦所在的直线经过焦点(1，0)，只需求出直线的斜率，因为弦长为36，所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.

解析：由题意可设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)两点.

∵抛物线y²=4x的焦点F(1，0)，

∴直线方程为y=k(x-1).

由

整理得k²x²-(2k²+4)x+k²=0.

∴x₁+x₂=.

∴|AB|=|AF|+|BF|

=x₁+x₂+2=+2.

又|AB|=36，∴+2=36,

解得k²=,即k=±.

∴所求直线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).

温馨提示

(1)此题也可以先求出两交点坐标，再根据两点间的距离公式列出等式求出k，但是计算复杂，一般不采用.

(2)也可以利用弦长公式|AB|=|x₁-x₂|来求，这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长.

(3)因为本题的弦是过焦点的，是特殊位置的弦，所以结合抛物线的定义得到|AB|=x₁+x₂+p,解起来更简捷.